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第五百三十一章 韦伊证明有限域的黎曼猜想域数论（第1页）

韦伊被关入监狱，但他不痛苦，反而高兴。

他在想，就是在监狱里，自己的工作照样可以进行，就是对黎曼猜想要证明。

在此刻，自己已经不会受到任何打搅，只要按照自己的思路，没日没夜的开始证明，必然能够得到一些结构。

他在监狱里无所事事，思路也变得清晰，然后一直想着黎曼猜想的破解方法。

突然，他想到黎曼猜想用的是复数域进行破解的，那是一种无限域，所以难免会有一定的难度。如果自己要是在有限域里，就行用泽塔函数来构造，看看其中的非平凡实数解还在那个负二分之一的轴上。

如果有限域里就出现了反例，那黎曼猜想就要凉凉了。如果有限域里就可以得到证实，那需要想个办法把有限域里的道理引入到无限域里就可以了。

这就需要构造有限域的一个复数域那样一个世界，有限的话，基本先要把原来的复数域的里超越无理数去掉，如果去掉了这一部分，就基本上可以证明自己构造的域是有限的了，这样的话就只需要让这个有限域里的任何一个部分都由实数进行表示就可以完成。

然后在写泽塔函数的时候，也就不是无穷的级数了，而是有限的。

这样就好解了，非平凡实数零点就好找了。

但一般的无限有理数几乎还是展现了很多不方便的性质，他只能把方向转向了有超越数的，但是确实有限的领域。

但一开始，数域太大，还是发现几乎跟原有的黎曼猜想的情况差不多。

他只能大胆的缩小数域，缩小到肉眼可见的水平。

韦伊把有限域继续缩小，发现只找到几个非平凡零点，倒是在一个直线上，但是那不能满足他的求知欲。

他继续开始了适当的扩大，发现不论如何大，大到他好几天算下来，非平凡解还在一条线上的时候。他突然觉得，应该让自己找到一个普遍的东西来证明有限域的情况都是复合的。

这就需要群论了一些表示的知识了，然后他表示出一个公式来，让这个公式能做一个数学归纳法一般的推广，就可以一举攻克这个问题了。

他发现如果让有限域变得普遍化，这个问题就变成了在椭圆曲线上证明里面猜想是如何的。

为了证明有限域上的黎曼猜想，韦依需要使用经典的代数几何方法，所以他必须先解决经典代数几何的概念模糊不清、理论基础不稳的严重问题。

为此他在1946年专门写了一本专着《代数几何基础》，在其中韦依仿照微分流形的定义，首先提出了内蕴的抽象“代数簇”的定义，他用有理函数作为转换函数，将局部的比较简单的仿射代数簇粘贴在一起，成为了一个抽象的代数簇，从而彻底摆脱了外在射影空间的束缚，极大地扩展了代数几何的适用范围。韦依用交换代数的语言，重新引入了代数几何中的一批重要的概念，包括闭链、一般点、特殊化、相交重数和曲面上的对应等。

1946年，在上述这本书出版之后不久，韦依终于证明了他的关于有限域上代数曲线的黎曼猜想。然后在1948年，韦依根据他对阿贝尔簇和格拉斯曼簇（Grassmannvariety）等高维代数簇在有限域上的点数所做的计算结果，提出了高维代数簇上与黎曼猜想类似的“韦依猜想”。

这个猜想充分显示了在有限域上代数簇的算术（arithmetic，即数论）与复数域上的代数簇的拓扑之间具有非常深刻的内在联系。

他果然找到了这个方式，而且证明了有限域的黎曼猜想问题。

他不敢相信这个清晰的结构是如此的振奋人心，还在想方设法在其中找各种各样的漏洞。结构发现自己的证明过程是严谨的，没有任何漏洞。

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