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第三百四十六章 康托尔三分集集合论（第1页）

1875年，亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯发现了一个诡异的东西。

是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显着和深刻的性质。

后来1883年，又有康托尔开始对这个问题感兴趣。

史密斯说：“对于线上的点，我总觉里面有很多玄机，上面有很多深刻的道理。不能弄过去的数学去衡量。”

康托尔说：“我也有同感，而且我还有一个不错的模型。”

史密斯说：“说说看。”

康托尔说：“我发现一个三分点集。取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，记为P。”

史密斯说：“这是一个无处稠密的完备集的例子。”

康托尔说：“其中有很多有趣的性质。”

史密斯说：“听你说的这个三分集，无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。”

康托尔说：“除了有自相似性，还有精细结构。”

史密斯说：“是无穷操作或迭代过程。”

康托尔说：“他让传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。”

史密斯说：“没错这是长度为零的。真是一个集简单与复杂的统一的结构。”

康托尔集很庞大，但它当中几乎不含有任何“内容物”。

第二种描述康托尔集的方式虽然有些枯燥但会更加精确。我们通常以十进制来书写数字，但除了这种书写方法以外我们还可以以三进制来书写数字，这就意味着我们只需要数字0、1和2就可以了（十进制书写的1到10如果以三进制来书写就会写成1、2、10、11、12、20、21、22、100、101）。康托尔集是闭区间从0到1的数字中，那些在三进制中仅用0和2书写的数字的集合。例如，0是包含于康托尔集中的，至于1可以被写成0.....（就像0.9999...=1那样）。

用三进制的方式来思考康托尔集特别自然地符合康托尔集的构造。将闭区间[0，1]中的所有数字用三进制转换。当你去掉区间（13，23），你就同时在去掉这个集合中三进制小数中第一个小数位为1的点。当你去掉剩下区间的13，你就同时在去掉三进制小数中第二位小数为1的点，以此类推。但我们确实要对端点值小心。早期的时候，我们注意到数字1可以被写成1或0.2222...类似地13可以被写成0.1或者0.0...。任何用三进制书写的数字如果以1收尾都可以用2的无限循环来代替，康托尔集是三进制中仅用0和2表示的数的集合，但这并不意味着这个集合中的所有数字一定要按照这种方式来书写，因此我们允许1、13以及诸如此类的数字成为这个集合中的一部分。

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