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柯西之旅,数学家中一说到柯西,就有一种枯燥的感觉铺面而来。
总以为柯西喜欢去规定一些东西,以严谨着称。
其实这对柯西很冤枉,因为柯西其实恰恰是一个喜欢有各种创造的人。
他可以在数学中很多不同的方面做出各种各样让人意想不到的事情,这样的数学家正是一个让人兴奋的数学家。
因为他有华丽的思维,这是最吸引人的一面。
柯西最近就开始考虑,如何对一些不正常的函数进行积分了。
一般的积分的函数,往往都是连续可导的情况,对于不连续的函数,理所应当被归类到不可以积分的那个范围。
而柯西认为,不连续一些函数也是可以求面积,甚至是体积的。
在写法上直接那样写就行,倒也顺当,但是会看起来不合法,但是真的不合法吗?
这个从直觉上可以感知出来。
比如想函数y=1x*x这样的函数,在x=0是发散的。
柯西使劲看着这个函数,心中中感觉,它下包围的面积大小是可以知道的,因为这是收敛的,不是发散的。
如果在数值上是收敛的,那不就可以去认为面积不是无穷大了吗?那不就是有特定面积的?
所以,要按照微积分的基本方法去求,是不是具备一定的合理性去直接求积分,那就需要在零点处看看能不能找到一种意义,规范好了,就直接去求积分。
求积分容易,关键是需要给他找到一个合理性,这个合理性是什么?
就是连续性大致存在,而在无穷大点处也有连续不断接近的性质。
只要这样,就可以求积分。
存在的合法性,就是可以不断的接近,这种不断的接近就是一种连续性,妙哉!
在求无穷大区间的积分的时候,只需要让其变成定积分的形式,先求出积分的式子,之后让取点积分区间那个值成为一种接近无限的值。
还可以在无穷大的点哪里,取左右分开求积分那种形式,在无穷大点处也带入定值,让最后的那个积分公式取无穷来计算即可。
这种值就是柯西主值。
柯西主值是在微积分中,实数线上的某类瑕积分,为纪念柯西而得此名。
瑕积分(improperintegral)是高等数学中微积分的一种,是被积函数带有瑕点的广义积分。
在物理学中有Kramers–Kronig定理,就是说响应和耗散分别是一个函数的实部和虚部,他们之间由一个柯西主值积分相联系。
实验上一般测量响应或者耗散的其中一个,然后按Kramers–Kronig定理积分取柯西主值就可以得到另一个。
这里的积分是不能收敛的,如果不取柯西主值,物理学家就无法进行下一步。
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