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第二百一十一章 全国大学生数学竞赛（第2页）

半个小时时间，马正轩搞定前面十道选择，只剩下后面十六道大题。

而距离考试结束，还剩下三个小时的时间。

这个时间，足够了。

马正轩提笔开始做十六道大题的第一题。

【设α∈（1，2），（1-x）^α的ma级数为∑akx^k，nxn实常数矩阵a为幂零矩阵，i为单位矩阵，设矩阵值函数g（x）定义为……，试证对于1≤i，j≤n，积分∫g（ij）（x）dx均存在的充分必要条件是a^3=0.】

这是一道证明题。

考察的内容很多，有积分、矩阵，还有不等式。

但这并不能难住马正轩。

这三方面的知识，都是很基础的内容，马正轩没有不会的道理。

这种难度的题目，甚至不需要马正轩在草稿纸上演算，但为了稳妥起见，马正轩还是在草稿纸上算了一遍再腾到答题纸上。

【a为幂零矩阵故有a^n=0，记f（x）=（1-x）^α，当j＞k时，记……，用jordan标准型直接表示出g（x），故此，使得积分∫g（ij）（x）dx均存在的充分必要条件是a^3=0.】

当时间还剩下一个半小时的时候，马正轩只剩下最后两道附加题。

附加题一：【设x1，x2……xn，都是独立同分布的随机变量，其有共同分布函数f（x）和密度函数f（x），现对随机变量，x1……xn，按大小顺序重新排列，……】

附加题二：【证明：若f∈s，则在Δ:|z|≦1内，有|z|（1+|z|）^2≦|f（z）|≤|z|（1-（x））^2.】

附加题一没有难度，倒是附加题二，让马正轩卡壳了许久。

思索了许久，回忆了许久，马正轩一直回忆到去年这个时候在冬令营培训备战imo时，顾律给他讲过的一个小知识点。

“这是……koebe偏差定理！”马正轩眼前一亮，回忆起顾律讲述过的有关‘koebe偏差定理’的内容。

所谓的koebe偏差定理，也就是附加题二的题干，是用来描述单位圆盘上单叶函数的一个有界定理。

“当时老师是怎么证明这个定理的？”马正轩闭着眼睛，仔细回忆。

“debranges定理！”许久之后，马正轩缓缓吐出这个名词。

他记得，当初就是利用debranges定理，推导之后，得到的koebe偏差定理。

debranges定理，是大学复变函数课程中的一个定理，它的主要内容，是讲如果有一个函数的幂级数展开为f（z）=z+a2z^2+a3z^3+……anz^n，则|an|≦n且等号成立当且仅当函数z（1-z）^2或它的旋转。

而当时，在马正轩的记忆中，顾老师就是利用，利用debranges定理，推导出当|z|＜1时，f（z）的范围。由于f（0）=0，……，得到|f（z）|=|∫f（ζ）dζ|≤|z|（1-z）^2，最后，得出koebe偏差定理。

当时在冬令营的时候，顾老师明确的讲过，这是超纲的内容，imo会用到的可能性极小，让众人听听就可以。

虽然不会在imo中用到，当时的马正轩还是在笔记上记了下来，偶尔会翻看几下。

但没想到，在imo上没有用到，倒是在全国大学生数学竞赛的时候，用到了这部分的知识。

若非是马正轩时常温习笔记上的内容的话，一年时间的过去，这部分内容，马振轩肯定是记不得了。

既然知道了证明的过程，那剩下的就好办了。

十几分钟的时间，马正轩就完成了附加题二的作答。

至此，整套试卷马正轩全部做完，而距离交卷，还有半个多小时。

在考试规则中，是允许提前交卷的。

但马正轩没有这么做的习惯，在仔细反复检查了多遍后，一直等到考试结束铃声响起，马正轩才交卷。

剩下的事情，便是静待着成绩的出炉了。

大学生数学竞赛的阅卷速度很快，短则十天，多则半个月，就会公布排名和获奖情况。

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