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第101夜 比值的魅力（第1页）

“猫头鹰的万花筒（..）”！

弗劳德引入的规模缩放方**现在已经成为科学和工程学工具箱中强大、复杂的组成部分，而且已经被广泛应用于多个领域。

直至20世纪，它才正式成为一项通用技术，著名的数学物理学家瑞利勋爵在《自然》（Nature）杂志上发表了一篇题为《相似法则》的令人兴奋、颇具影响力的论文。

他着重强调的是特殊数值在一切物理系统中扮演的主要角色，这些数值都具有无量纲的性质。

它们是一系列变量的集合，如弗劳德数，它的数值无论用什么单位制来衡量都是相同的。

请允许我详细解释一下。人们习惯在日常生活中测量的典型数量，如长度、时间和压力等，都取决于用来衡量它们的单位，如英尺、秒、磅、每平方英寸的磅数等。

然而，同样的数量可以用不同的单位来衡量。例如，从纽约到洛杉矶的距离为3210英里，但同样也可以被表述为5871千米。尽管数字不同，但它们表达的是同一件事物。

与之相似，伦敦和曼彻斯特之间的距离可以被表述为278英里或456千米。

然而，纽约到洛杉矶的距离与伦敦到曼彻斯特的距离之间的比值（14.89）却是相同的（无论是3210英里除以278英里，还是5871千米除以456千米），无论我们使用的是什么单位。

这便是一个无量纲数的简单例子：它是一个纯数字，不会因衡量它的量纲的不同而发生变化。这一比例不变性表达了其所代表的数量的绝对性，对人类所选择的单位和量纲的依赖性被消除了。

专门的单位是人类的便捷发明，用于在标准化语言中沟通度量，尤其是在建筑业、商业及商品和服务交换中。

的确，标准度量的出现标志着文明发展和城市崛起的重要阶段，因为它们在发展令人信赖的、受制于法治的政治结构的过程中扮演了重要角色。

或许，最著名的无量纲数便是圆周率（π），即圆的周长与直径的比值。它没有单位，因为它是两个长度的比值，所有圆的圆周率都是相同的，无论其是大是小。

因此，π也就成了圆的共同特征。

这一“普遍性”的概念是重力加速度被囊括在弗劳德数的定义中的原因，即使它在从模型船只到真实船只的规模缩放中没有明确的角色。

物体运动速度的平方与物体长度的比值并不是无量纲的，依赖所使用的单位。但如果再除以重力，它就成了无量纲数，具有比例不变性（流体力学中表征流体惯性力和重力相对大小的一个无量纲参敦，记为Fr。它表示惯性力和重力量级的比，即：Fr=U2gL，式中U为物体运动速度，g为重力加速度；L为物体的特征长度。）。

那么，为什么会选择重力加速度，而不是其他加速度呢？因为重力无所不在，限制着地球上的所有运动（力学意义为水流的惯性力和重力两种作用的对比关系：Fr>1时，惯性力对水流起主导作用，水流为急流；Fr

这在我们走路和跑步时表现得十分明显，我们不得不持续对抗重力，在每一步向前的过程中都要抬起我们的双腿，尤其是在登山时。

重力在船只运动中的作用并不明显，因为水的浮力会抵消重力。

然而，当一艘船在水中行驶时，它会持续制造尾流和表面波，它们的行为都要受到重力的约束——事实上，你所熟悉的海洋和湖泊中的波在技术上被称作重力波。

因此，重力间接地在船只的运动中扮演重要角色。由此一来，弗劳德数代表了与地球上所有运动相关的“普遍性”特点，它超越了运动物体的具体细节。

因此，它的数值不仅成了船只运动的主要决定因素，而且也成了汽车、飞机及我们自身运动的主要决定因素。

此外，它还告诉我们，另一个与地球有着不同引力强度的星球上的运动会与地球上的相同运动存在什么差异。

任何可测量的本质都不能依靠人类随意做出的单位选择，物理定律同样如此（尽量采用无量纲的比值，比如此文的规模法则）。

因此，所有的物理定律及实际上所有的科学定律都必须可表述为比例不变的无量纲数数量之间的关系，尽管它们通常不会这样写就。

这便是瑞利勋爵那篇有重大影响的论文的深层信息。

他的论文巧妙地利用多个精心挑选的例子阐释了这一方法，其中一例为我们所有人曾经思考过的生命中的最大谜题之一提供了一个科学解释，即为何天空是蓝色的。

通过一个完全基于相关的无量纲数数量的简单论点，他向人们表明，被小粒子散射的光强度与光波波长的四次方成反比。

当由彩虹的7种颜色组成的太阳光被悬浮在大气中的微粒子散射时，波长最短的蓝光散射得多，也就占优势。

事实上，瑞利勋爵早就在另一篇精心之作中推导出了这一令人震惊的结论，他对这一问题进行了精彩的数学分析，就转向光谱中的蓝光的缘由给出了详细的机制性解释。

他在论文中提出这一简单推论的目的在于向外界证明，利用包装在“伟大的相似法则”外表下的规模法则，无须通过详细的、复杂的数学推论，只需经过几分钟的思考，便可以得出相同的结论。

他的比例论断表明，只要你知道哪些是重要的可变因素，进行任何分析都会不可避免地得出“转向较短波长光”的结论。

而这一推导过程所缺乏的是对得出结论的机制的深刻理解。

这也是许多比例观点的特点：可以得出结果，但它们背后的机制性来源的细节有时不为人所知。

瑞利对光波散射的数学分析奠定了“散射理论”的基础。该理论在多个问题上的应用变得极其重要，从水波到电磁波，尤其是雷达，最近又被应用于信息技术通信，尤其是在量子力学的发展过程中扮演了重要角色。

它为日内瓦欧洲核子研究中心的大型粒子加速器等实施的散射实验得出的新发现提供了理论基础。

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