数学选择性必修一电子课本最新章节_第六百一十章埃尔德什－格雷厄姆问题数论第1页_数学选择性必修一电子课本免费阅读_蔡泽禹作品

手机浏览器扫描二维码访问

第六百一十章埃尔德什－格雷厄姆问题数论（第1页）

公元前1650年左右的古埃及数学典籍《莱因德数学纸草书》，其中记录了古埃及人如何将有理数表示为单位分数之和。

这里有{2，3，7，12，15，18，21，29，32，36}10个数字组成的一个数集，我们可以选择其中的2、3、12、18、36，就能得到12+13+112+118+136=1。

单位分数就是分子是1的分数，或者也可以说是正整数的倒数，它们是当时古埃及数字系统中唯一一类分数，他们需要用单位分数来表示其他更复杂的分数，比如将34写作12和14的和。

到了20世纪70年代，有关这类分数的问题再次引起了一些数学家的兴趣。当时，数学家埃尔德什（PaulErd?s）和格雷厄姆（RonaldGraham）在探索想要设计出不满足条件的整数集有多难，也就是说，一个整数集中不能有任何子集，其倒数之和等于1。

如果A是N的子集，A具有正密度，那么存在有限的S是A的子集，使得其中数的倒数和为1。在此，数集A是自然数集的子集，无论你怎么数下去，都存在一种非零的概率，会遇到集合A中的一个数字，那么A就具有正密度。

猜想提出约半个世纪后，牛津大学数学家ThomasBloom证明了它。

举个简单的例子，A是一个包含所有大于1的奇数的集合，它属于自然数集的子集，并满足正密度的条件，因为无论你数到10亿还是100亿，也一定会遇到奇数。然后，我们可以在A中找到有限子集S={3，5，7，9，11，33，35，45，55，77，105}，而所有这些数的倒数相加恰好等于1。

这理解起来并没有那么困难，但证明它显然就变成另一回事了。那就变成了一个大得多、复杂得多的问题。对不少数学家来说，似乎找不到什么显而易见的数学工具来解决它。

数学家ErnieCroot，他解决了所谓的埃尔德什-格雷厄姆问题的着色版本。

这是一种更弱的证明。可以这么理解，在着色版本中，整数被随机地分类，指定放到不同颜色的桶中。猜想预测，无论这种分类中用到了多少个桶，至少会有一个桶包含一个倒数之和等于1的整数子集。

Croot这篇发表于2003年的论文引入了来自调和分析的强大的新方法，那是一个与微积分密切相关的数学分支。

着色版本和密度版本非常相似，但它们在一个非常重要的方面却有所不同。在着色问题中，整个数集A被分成了不同的“桶”，具体的分割方法并不重要。数学家要证明的是，有一个“桶”里的数字满足条件。这正是Croot在论文里构建的证明，表明了至少会有一个“桶”里包含足够多具有低素因子的数字，用数学术语来说就是光滑数（smoothnumber），从而满足定理。

这可以看作证明的一条捷径，但在密度版本中，这样的捷径并不存在。当Bloom看到这篇证明后，却认为这种方法要比人们普遍认为的更强，那实际上证明了密度问题的一个特例。Bloom谦虚地表示，他所做的“只是又推了一下那扇已经打开的门”。

粗略来说，先前的证明依赖于一类被称为指数和的整数。指数和可以分成两个部分，分别是优弧贡献，也就是我们可以明确计算并且很大的部分，以及劣弧贡献，也就是我们不知道如何计算，但能证明很小的部分。

先前证明的巧妙之处在于，Croot想到了一种思考劣弧贡献的新方法，把它变成了一类不同的问题。他没有试图计算数值，而是研究了这个集合中倍数是如何沿着数轴分布的。

在此基础上，Bloom将它进一步改进成适用于密度版本，进行了更多“局部”处理。在Bloom的新论文中，他将自己的方法解释为“Croot引入的方法的一种更强形式”。

同时，Bloom没有直接寻找倒数之和为1的答案，而是先找到了倒数相加更小的数集，然后再把它们当作“零件”，最终构建出想要的答案。这进一步帮助简化了过程。

Bloom的新证明受到了许多数学家的赞赏，但这显然不是数集与和的问题探索的终点。

数论一直在寻找数字中的隐藏结构。当数论学家遇到一种似乎无可避免的数字模式时，他们会不断测试这种模式的稳定程度，探索它的边界和极限，从而挖掘出埋藏在数字中的新信息。

在过去20年间，组合与分析数论都有了很大发展，让数学家能够以全新的视角看待许多古老的问题。同时，在计算机的帮助下，以更严格的方式检验证明也成为可能。

喜欢数学心请大家收藏：（）数学心

[综影视同人] 炮灰终结者宗门全是美强惨，小师妹是真疯批我说今夜无神，于是众神陨落忠犬影卫饲养法则 [HP同人] 隐藏在霍格沃茨当教授肥妃有福，双面王爷倾世妃 [咒回同人] 全员术师我把皇子养歪了 [穿书]男主他想弄死我+番外重生后她燃炸了白夜（重生）鬼灭RPG为美好的世界献上帝君快穿之大佬总是在撩我本座的猫儿师尊当绿茶反派男配想上位盛宠拽后：本宫就爱戏诸王成就华流天王，从历经生死战开始告白未果，我决定做回低调逆袭者 BOSS伪装白莲花女主杀疯了我当过的炮灰都成了宠文男主[快穿]