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人们知道共振,最早是从相同音律的共鸣开始的.
用振动理论的行话说,频率相同的两个音会共鸣,或者叫频率比为1:1的共振。
在力学教科书里,容易从力学基本规律出发,通过数学方法(诸如列出微分方程求解等等)解释共振原因.
这是熟知的1:1共振.为和比值数字呼应,下文写成11共振.
在历史上,接着有记载的是12(频率比为1:2)的共鸣.
这种1:2共振在线性振动理论范畴内也容易理解.一个音的频率正好是另一音的频率乘2,乐律上叫“高八度”.
更一般地,设想有两个物体(或系统),两者固有频率之比恰好为1:n。(或n:l),n为正整数,如两者有某种相互影响,即通常称为有耦合,也会发生ln共振.
以上所说共振,用线性的振动理论就能解释.
再进一步考虑有非线性的因素.我这里只是原理性的解释,相关的条件见非线性振动专着.
设在某种非线性条件下,系统的“固有”频率不是那么死板,不可变动,那么只要两个频率之比接近于1:n,也会出现共振.这种共振也就是次谐波(Subharmonic),比如,13次谐波就是因为有13共振。
所谓阿诺德舌头比这更进一步,这个术语说明的是mn共振的条件,这里m和n是没有公因子(不可公约的)两个正整数,特别是比较小的正整数,比如2和3,或者5和8.这种共振通常是以某种非线性为前提的,非线性可能存在于系统自身,也可能见于两者耦合的机制.
我用生活中的例子来说明“耦合”怎样起作用.
个人走路,总有自己的习惯,形成固有的频率(如一分钟多少步)。
这种频率不会象电机转动频率那么严格地等于多少,而是在某个平均值附近有一个比较窄的“分布”.
现在观察年龄相仿(因而固有频率相近)又比较亲近(有足够的耦合程度)的甲乙两人(设想是两个初中女生),让他们一起走路.
走呀走的,就会走到一样快慢,甚至于不仅“同步”(synchronized)“锁频”(frequeney一loeked),而且“锁相(phase一locked)”,相位也相同,甲出左脚.乙也是左脚.
两人的亲密程度,反映了“耦合”的强弱.
是甲影响乙,还是乙影响甲,或者相互影响?
阿诺德舌头说明的是:更一般的mn共振中,耦合强度要多大才会发生.借用走路的说法,两个人(比如,大人和孩子),让他们分开走,自然频率比大致是23,甲走2步的时间,大致是(不必准确地是)乙走3步的时间.甲和乙一起走,亲近(耦合)到什么程度,会发生23共振,甲每走2步,乙不多不少正好走3步,而且一直维持下去,耦合不够这个程度,就乱了套,不合拍,追追停停,甚至各走各的了。
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