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作为牛顿看好的学生,麦克劳林经常思考一个问题。
世间很多物理运动,是不是都可以由已知函数表达,如果是已知的,那会是什么样的函数。
天下所有函数是不是都可以展开成多项式形式,这个多项式前有对应合理系数?
也许是可以的,即使不是准确了,但大概也可以展开成这样。
麦克劳林一开始去研究多项式函数的形状,自己也绘制了很多个函数。
麦克劳林开始发现,只要多项式前的系数可以直接决定。
理论上就是改变多项式系数,就可以合成,或者近似合成几乎任何一个函数。这不是一个理论,而是实际需要的东西。
但比较麻烦的是,每次的合成比较麻烦,需要反复验证,才能吻合。
后来泰勒发现泰勒级数之后,麦克劳林看到了这种简单的方法。
麦克劳林级数是函数在x=0处的泰勒级数,它是牛顿的学生麦克劳林于1742年给出的,用来证明局部极值的充分条件,他自己说明这是泰勒级数的特例,但后人却加了麦克劳林级数这个名称。
麦克劳林最后还是落下一个毛病,他还是没有用泰勒级数,他还是习惯于自己对多项式改变系数,来研究很多函数的性质,同时可以研究清很多运动轨迹。
牛顿对麦克老林说:“不可避免,我们要研究级数了,这是未来的趋势。”
麦克劳林说:“必须的,我们要发展这么学问,毕竟它的用途颇多。”
“但是,我有一个疑问,我心里总是对这种东西有一种特别的感悟。”牛顿开始使用‘感觉’这一类的非理性词汇,想从这些的意味上去探讨这个东西。
“你这个疑问,是在研究二项式的时候,就出现了吗?”麦克劳林对牛顿研究二项式的精神震撼,如今有了级数这样的知识,或许这些之间有一些难以言说的微妙关系。
牛顿严肃的说:“你能解释为什么上帝,要我们把任何一个公式要变成一个写不完的级数吗?上帝是想告诉我们,每个东西都会有无穷小的细节?”
麦克劳林喜欢牛顿这种钻牛角的方式,因为数学家都爱转奇怪的牛角,外人看来是神经兮兮的行为,普通的数学工作者也仅仅会轻蔑一笑。而高级的数学家之间,用这样的方式说话,对他们而言,是一种哲学感上的一种极度舒适。
“我知道你想说的是,一个本来简单的公式,这么会有无穷的写不完的细节?而这种细节是上帝考验我们的,甚至是一种嘲笑。是嘲笑我们连一个简单公式,我们都不能准确的把他们写完。”
牛顿笑了:“是的,我们没有刻意去找细节,但是一个最简单的东西却有一种无穷无尽的细节。就是一个简单物本来就有无穷细节的意思。”
麦克劳林说:“我们可以利用这个细节,寻找相互等价的公式,却不能用他们准确测量什么东西。”
牛顿说:“没错,讨论到此为止了。”
牛顿知道,说个三天三夜的也不起作用,知道此事到此为止。
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