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第506章ZermeloFraenkel集理论公理（第1页）

“行走于V家世界（..）”！

本文来源于知乎用户“某71”，已获得授权。

————以下是正文————

Zermelo-Fraenkel集理论公理

（从过渡性ZFC模型重定向）

Zermelo-Frankel集理论与选择公理（ZFC）是集合理论家使用公理的标准集合。用于表达每个公理的正式语言是一阶的，具有平等性（==）和一个二进制关系符号，∈∈，意在表示集合成员资格。零集公理和分离模式被后来更具包容性的公理所取代。

公理

扩展性

集合由其元素唯一确定。这正式表示为

?x?y（?z（z∈xz∈y）→x=y）.?x?y（?z（z∈xz∈y）→x=y）.

“→→”可以替换为“”，但是←←方向是一个逻辑定理。或者，可延伸性公理可以作为平等的定义，也可以用它来代替它：

?x?y（?a（a∈xa∈y）→?b（x∈by∈b））?x?y（?a（a∈xa∈y）→?b（x∈by∈b））

意味着具有相同元素的集合属于相同的集合。

空集

有一些集合。事实上，有一套没有成员。这是正式表达的

?x?y（y?x）.?x?y（y?x）.

这样一个x按扩展性是唯一的，此集合表示为??。

配对

对于任何两套xx和yy（不一定不同）还有一套zz谁的成员正是布景？xx和yy。

?x?y?z?w（w∈z（w=x∨w=y））.?x?y?z?w（w∈z（w=x∨w=y））.

这样一个z因扩展性而独一无二，并表示为{x，y}{x，y}。

工会

对于任何一套xx还有一套yy其成员正是所有成员xx。也就是说，集合的所有成员的联盟都存在。这正式表示为

?x?y?z（z∈y?w（w∈x∧z∈w））.?x?y?z（z∈y?w（w∈x∧z∈w））.

这样一个y因扩展性而独一无二，并被写成y=?xy=?x。

基础（或规律性）

每套非空集x成员与x，确保任何集合都不能直接或间接包含自己。这正式表示为

?x≠??y∈x??z（z∈x∧z∈y）.?x≠??y∈x??z（z∈x∧z∈y）.

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