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李天岩周期三包含混沌。
2020年6月25日,美国华人数学家李天岩去世,享年75岁。他最著名的论文是1975年和导师约克合作完成的“PeriodThreeImpliesChaos”一文。文章内容初等,结果震撼:若函数有3周期点,则有任何k周期点。简而言之,三生万物。此后的研究如雨后春笋,混沌(chaos)这个概念因而开始在数学界大放异彩。
有三周期点,则会有任何周期点,说白了,就是三生万物。
三生万物定理证明完毕后,诸多疑问纷至沓来:3特殊吗,例如,5能不能生万物?周期点之外,或者每个周期点附近,函数迭代的性态如何?我们首先解答第二个问题。我们不加证明地叙述如下定理,它也是李天岩和约克在同一篇文章中证明的。
这个定理的含义不言自明:周期三,则混沌无序!只要函数有3周期点,就有一个由非周期点组成的不可数的集合,使得其中每个点在函数迭代中无穷次地远离周期点;而这集合中每两个点在迭代中也无穷次地互相接近或远离。
也就是说,3的确是很特殊的;3可以生万物,包括5;但5却不能生3.那么,一般情况下,各个周期k之间的相生关系又是如何呢?其实,早在李天岩-约克定理发表十年前,就有一位数学家给出了完美的答案,完全超越了李天岩-约克的结果。可惜这位数学家沙可夫斯基是苏联乌克兰人,论文用乌克兰语发表在当地的小众杂志上,因而未受学术界重视。
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